Prueba de hipotesis para la diferencia de proporciones ejercicios resueltos
Cuando se trabaja con dos muestras independientes, a menudo surge la pregunta de si hay una diferencia significativa entre las proporciones de dos poblaciones diferentes. La prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones es una herramienta útil para responder a esta pregunta. En este artículo, presentaremos ejercicios resueltos para ayudarte a comprender mejor esta prueba.
Definición de hipótesis nula y alternativa
Primero, es importante establecer la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H0) supone que no hay diferencia significativa entre las proporciones de dos poblaciones diferentes. La hipótesis alternativa (Ha) supone que sí hay una diferencia significativa entre las proporciones de dos poblaciones diferentes.
Ejemplo 1: Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones
Supongamos que queremos determinar si hay una diferencia significativa en las proporciones de hombres y mujeres que compran un determinado producto. Tomamos dos muestras independientes, una de hombres y otra de mujeres, y encontramos que 200 hombres compraron el producto de una muestra de 500, mientras que 150 mujeres compraron el producto de una muestra de 400.
Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
H0: La proporción de hombres que compran el producto es igual a la proporción de mujeres que compran el producto.
Ha: La proporción de hombres que compran el producto es diferente a la proporción de mujeres que compran el producto.
Paso 2: Establecer el nivel de significancia
El nivel de significancia es el umbral para rechazar la hipótesis nula. En este ejemplo, utilizaremos un nivel de significancia del 5%.
Paso 3: Calcular la estadística de prueba
La estadística de prueba para la diferencia de proporciones se calcula como:
z = (p1 - p2) / sqrt(p * (1 - p) * (1/n1 + 1/n2))
Donde p1 y p2 son las proporciones muestrales, n1 y n2 son los tamaños de las muestras, y p es la proporción combinada de las dos muestras.
En nuestro ejemplo, la proporción combinada es (200 + 150) / (500 + 400) = 0.3125. Entonces, la estadística de prueba es:
z = (200/500 - 150/400) / sqrt(0.3125 * (1 - 0.3125) * (1/500 + 1/400)) = 2.05
Paso 4: Calcular el valor p
El valor p es la probabilidad de obtener una estadística de prueba igual o más extrema que la observada, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. En nuestro ejemplo, el valor p es 0.0407.
Paso 5: Tomar una decisión
Como el valor p es menor que el nivel de significancia (0.0407 < 0.05), rechazamos la hipótesis nula. Esto significa que hay una diferencia significativa entre las proporciones de hombres y mujeres que compran el producto.
Ejemplo 2: Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones
Supongamos que queremos determinar si hay una diferencia significativa en las proporciones de estudiantes de dos universidades diferentes que están interesados en estudiar en el extranjero. Tomamos dos muestras independientes, una de la Universidad A y otra de la Universidad B, y encontramos que 100 estudiantes de la Universidad A están interesados en estudiar en el extranjero de una muestra de 300, mientras que 120 estudiantes de la Universidad B están interesados en estudiar en el extranjero de una muestra de 400.
Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
H0: La proporción de estudiantes de la Universidad A interesados en estudiar en el extranjero es igual a la proporción de estudiantes de la Universidad B interesados en estudiar en el extranjero.
Ha: La proporción de estudiantes de la Universidad A interesados en estudiar en el extranjero es diferente a la proporción de estudiantes de la Universidad B interesados en estudiar en el extranjero.
Paso 2: Establecer el nivel de significancia
El nivel de significancia es el umbral para rechazar la hipótesis nula. En este ejemplo, utilizaremos un nivel de significancia del 1%.
Paso 3: Calcular la estadística de prueba
La estadística de prueba para la diferencia de proporciones se calcula como:
z = (p1 - p2) / sqrt(p * (1 - p) * (1/n1 + 1/n2))
Donde p1 y p2 son las proporciones muestrales, n1 y n2 son los tamaños de las muestras, y p es la proporción combinada de las dos muestras.
En nuestro ejemplo, la proporción combinada es (100 + 120) / (300 + 400) = 0.259. Entonces, la estadística de prueba es:
z = (100/300 - 120/400) / sqrt(0.259 * (1 - 0.259) * (1/300 + 1/400)) = -1.66
Paso 4: Calcular el valor p
El valor p es la probabilidad de obtener una estadística de prueba igual o más extrema que la observada, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. En nuestro ejemplo, el valor p es 0.0968.
Paso 5: Tomar una decisión
Como el valor p es mayor que el nivel de significancia (0.0968 > 0.01), no podemos rechazar la hipótesis nula. Esto significa que no hay suficiente evidencia para concluir que hay una diferencia significativa entre las proporciones de estudiantes de las dos universidades interesados en estudiar en el extranjero.
Preguntas frecuentes
1. ¿Qué es la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones?
La prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones es una herramienta estadística que se utiliza para determinar si hay una diferencia significativa entre las proporciones de dos poblaciones diferentes.
2. ¿Cómo se establecen las hipótesis nula y alternativa?
La hipótesis nula supone que no hay diferencia significativa entre las proporciones de dos poblaciones diferentes, mientras que la hipótesis alternativa supone que sí hay una diferencia significativa entre las proporciones de dos poblaciones diferentes.
3. ¿Qué es el nivel de significancia?
El nivel de significancia es el umbral para rechazar la hipótesis nula. Se utiliza para determinar si el resultado de la prueba es estadísticamente significativo.
4. ¿Cómo se calcula la estadística de prueba para la diferencia de proporciones?
La estadística de prueba para la diferencia de proporciones se calcula utilizando la fórmula z = (p1 - p2) / sqrt(p * (1 - p) * (1/n1 + 1/n2)), donde p1 y p2 son las proporciones muestrales, n1 y n2 son los tamaños de las muestras, y p es la proporción combinada de las dos muestras.
5. ¿Cómo se interpreta el valor p?
El valor p es la probabilidad de obtener una estadística de prueba igual o más extrema que la observada, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Si el valor p es menor que el nivel de significancia, se puede rechazar la hipótesis nula. Si el valor p es mayor que el nivel de significancia, no se puede rechazar la hipótesis nula.