Ejercicios resueltos de series finitas e infinitas

Las series son secuencias de números que se suman para obtener un resultado final. Las series pueden ser finitas o infinitas, y son una herramienta importante en las matemáticas. En este artículo, veremos algunos ejercicios resueltos de series finitas e infinitas.

Series finitas

Las series finitas son aquellas en las que se suman un número finito de términos. Por ejemplo, la serie finita 1 + 2 + 3 + 4 + 5 se puede resolver sumando cada término:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Veamos otro ejemplo. Supongamos que queremos sumar los primeros 10 términos de la serie 2n:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20

Para resolver esta serie, podemos utilizar la fórmula para la suma de los términos de una serie aritmética:

S = n/2(a1 + an)

donde S es la suma, n es el número de términos, a1 es el primer término y an es el último término. En este caso, a1 es 2, an es 20 y n es 10:

S = 10/2(2 + 20) = 110

Por lo tanto, la suma de los primeros 10 términos de la serie 2n es 110.

Series infinitas

Las series infinitas son aquellas en las que se suman un número infinito de términos. Estas pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente es aquella cuyo valor final es un número finito, mientras que una serie divergente es aquella cuyo valor final es infinito o no existe.

Veamos un ejemplo de una serie convergente. La serie geométrica 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... se puede resolver utilizando la fórmula para la suma de una serie geométrica:

S = a1/(1 - r)

donde S es la suma, a1 es el primer término y r es la razón común. En este caso, a1 es 1/2 y r es 1/2:

S = 1/2/(1 - 1/2) = 1

Por lo tanto, la suma de la serie geométrica 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... es 1.

Por otro lado, un ejemplo de una serie divergente es la serie armónica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Esta serie no tiene un valor final, ya que la suma de los términos sigue aumentando indefinidamente.

Conclusión

Las series finitas e infinitas son importantes en las matemáticas y se utilizan en una variedad de campos, incluyendo la física y la ingeniería. Resolver ejercicios de series puede ser un desafío, pero con la práctica y la comprensión de las fórmulas, se pueden resolver con éxito.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una serie finita?

Una serie finita es aquella en la que se suman un número finito de términos.

2. ¿Qué es una serie infinita?

Una serie infinita es aquella en la que se suman un número infinito de términos.

3. ¿Qué es una serie convergente?

Una serie convergente es aquella cuyo valor final es un número finito.

4. ¿Qué es una serie divergente?

Una serie divergente es aquella cuyo valor final es infinito o no existe.

5. ¿Cómo se resuelve una serie geométrica?

Una serie geométrica se resuelve utilizando la fórmula para la suma de una serie geométrica: S = a1/(1 - r), donde S es la suma, a1 es el primer término y r es la razón común.