Ejercicios resueltos de homotecia en el plano cartesiano
¿Qué es la homotecia?
La homotecia es una transformación geométrica que consiste en la ampliación o reducción de una figura en relación a un punto fijo llamado centro de homotecia y un factor de proporcionalidad. En el plano cartesiano, la homotecia se puede representar mediante una matriz de transformación.
Ejercicio 1: Homotecia con centro en el origen
Dada la figura A(2,3), B(4,5), C(6,3) y D(4,1), realizar una homotecia con centro en el origen y factor de proporcionalidad k = 2.
Para resolver este ejercicio, primero se debe encontrar la matriz de transformación de la homotecia con centro en el origen y factor de proporcionalidad k = 2:
```
[ 2 0 ]
M = [ 0 2 ]
```
Luego, se debe aplicar la matriz de transformación a cada punto de la figura:
```
A' = M * A = [ 2 0 ] * [ 2 ] = [ 4 ]
[ 0 2 ] [ 3 ] [ 6 ]
B' = M * B = [ 2 0 ] * [ 4 ] = [ 8 ]
[ 0 2 ] [ 5 ] [10 ]
C' = M * C = [ 2 0 ] * [ 6 ] = [12 ]
[ 0 2 ] [ 3 ] [ 6 ]
D' = M * D = [ 2 0 ] * [ 4 ] = [ 8 ]
[ 0 2 ] [ 1 ] [ 2 ]
```
La figura transformada es A'(4,6), B'(8,10), C'(12,6) y D'(8,2).
Ejercicio 2: Homotecia con centro en un punto distinto al origen
Dada la figura A(1,1), B(3,1), C(3,3) y D(1,3), realizar una homotecia con centro en el punto E(2,2) y factor de proporcionalidad k = 3.
Para resolver este ejercicio, primero se debe trasladar la figura para que el centro de homotecia sea el origen:
```
A'(x,y) = A(x-2,y-2) = (-1,-1)
B'(x,y) = B(x-2,y-2) = (1,-1)
C'(x,y) = C(x-2,y-2) = (1,1)
D'(x,y) = D(x-2,y-2) = (-1,1)
```
Luego, se debe encontrar la matriz de transformación de la homotecia con centro en el origen y factor de proporcionalidad k = 3:
```
[ 3 0 ]
M = [ 0 3 ]
```
Después, se debe aplicar la matriz de transformación a cada punto de la figura transformada:
```
A'' = M * A' = [ 3 0 ] * [-1] = [-3]
[ 0 3 ] [-1] [-3]
B'' = M * B' = [ 3 0 ] * [ 1] = [ 3]
[ 0 3 ] [-1] [-3]
C'' = M * C' = [ 3 0 ] * [ 1] = [ 3]
[ 0 3 ] [ 1] [ 3]
D'' = M * D' = [ 3 0 ] * [-1] = [-3]
[ 0 3 ] [ 1] [ 3]
```
Finalmente, se debe trasladar la figura transformada para que el centro de homotecia vuelva a ser el punto E(2,2):
```
A'''(x,y) = A''(x+2,y+2) = (-1,-1) + (2,2) = (1,1)
B'''(x,y) = B''(x+2,y+2) = (3,-1) + (2,2) = (5,1)
C'''(x,y) = C''(x+2,y+2) = (3,3) + (2,2) = (5,5)
D'''(x,y) = D''(x+2,y+2) = (-1,3) + (2,2) = (1,5)
```
La figura transformada es A'''(1,1), B'''(5,1), C'''(5,5) y D'''(1,5).
Ejercicio 3: Homotecia inversa
Dada la figura A(1,1), B(3,1), C(3,3) y D(1,3), realizar una homotecia inversa con centro en el origen y factor de proporcionalidad k = 2.
Para resolver este ejercicio, primero se debe encontrar la matriz de transformación de la homotecia inversa con centro en el origen y factor de proporcionalidad k = 2:
```
[ 1/2 0 ]
M = [ 0 1/2 ]
```
Luego, se debe aplicar la matriz de transformación a cada punto de la figura:
```
A' = M * A = [1/2 0 ] * [1] = [1/2]
[ 0 1/2 ] [1] [1/2]
B' = M * B = [1/2 0 ] * [3] = [3/2]
[ 0 1/2 ] [1] [1/2]
C' = M * C = [1/2 0 ] * [3] = [3/2]
[ 0 1/2 ] [3] [3/2]
D' = M * D = [1/2 0 ] * [1] = [1/2]
[ 0 1/2 ] [3] [3/2]
```
La figura transformada es A'(1/2,1/2), B'(3/2,1/2), C'(3/2,3/2) y D'(1/2,3/2).
Conclusión
La homotecia es una transformación geométrica importante en el plano cartesiano, utilizada para ampliar o reducir figuras en relación a un punto fijo y un factor de proporcionalidad. Los ejercicios resueltos de homotecia en el plano cartesiano permiten comprender mejor los conceptos teóricos y aplicarlos en la resolución de problemas prácticos.
Preguntas frecuentes
1. ¿Qué es el centro de homotecia?
El centro de homotecia es el punto fijo alrededor del cual se realiza la homotecia.
2. ¿Qué es el factor de proporcionalidad?
El factor de proporcionalidad es la razón entre las longitudes correspondientes de las figuras original y transformada.
3. ¿Cómo se representa la homotecia en el plano cartesiano?
La homotecia en el plano cartesiano se puede representar mediante una matriz de transformación.
4. ¿Qué es la homotecia inversa?
La homotecia inversa es una transformación geométrica que invierte los efectos de una homotecia previa. Es decir, si una figura se amplió o redujo mediante una homotecia, la homotecia inversa la reducirá o ampliará en la misma proporción.
5. ¿Cómo se realiza una homotecia con centro en un punto distinto al origen?
Para realizar una homotecia con centro en un punto distinto al origen, primero se debe trasladar la figura para que el centro de homotecia sea el origen, luego se aplica la homotecia y finalmente se traslada la figura transformada para que el centro de homotecia vuelva a ser el punto original.