Ejercicios resueltos de aplicaciones de maximos y minimos
¿Qué son los máximos y mínimos?
Los máximos y mínimos son puntos críticos en una función en la que existe un cambio en la dirección de la curva. En otras palabras, son los puntos en los que una función alcanza su valor más alto o más bajo. Estos puntos pueden ser de gran importancia para resolver problemas en diversas áreas como la economía, la ingeniería y las ciencias sociales.
Tipos de máximos y mínimos
Existen dos tipos de máximos y mínimos en una función: los máximos/mínimos locales y los máximos/mínimos absolutos. Los máximos/mínimos locales son aquellos puntos en los que la función alcanza su valor más alto o más bajo, pero solo en un intervalo específico. Los máximos/mínimos absolutos, por otro lado, son los valores más altos o más bajos de una función en todo su dominio.
Aplicaciones de máximos y mínimos
Los máximos y mínimos se utilizan en diversas áreas para resolver problemas, tales como:
Economía
En economía, los máximos y mínimos se utilizan para determinar el precio óptimo de un producto o servicio. Por ejemplo, si una empresa quiere maximizar sus ganancias, debe encontrar el punto en el que el costo de producción es igual al precio de venta.
Ingeniería
En ingeniería, los máximos y mínimos se utilizan para optimizar el rendimiento de un sistema. Por ejemplo, si se desea optimizar el rendimiento de un motor, se debe encontrar la velocidad óptima en la que el motor funciona de manera más eficiente.
Ciencias sociales
En ciencias sociales, los máximos y mínimos se utilizan para estudiar el comportamiento humano. Por ejemplo, si se desea minimizar el número de accidentes de tráfico en una ciudad, se debe encontrar el límite de velocidad óptimo que reduzca el número de accidentes.
Ejercicios resueltos
A continuación, presentamos algunos ejercicios resueltos de aplicaciones de máximos y mínimos:
Ejercicio 1:
Una empresa desea maximizar sus ganancias vendiendo un producto a un precio de $50 por unidad. Si el costo de producción es de $30 por unidad y la función de demanda es de 500 - 5x, ¿cuál es la cantidad óptima de producción que maximiza las ganancias?
Solución:
Para encontrar la cantidad óptima de producción, primero debemos encontrar la función de ganancias:
G(x) = (50 - 30)x(500 - 5x)
G(x) = 20x(500 - 5x)
G(x) = 10000x - 100x^2
Ahora, para encontrar la cantidad óptima de producción, debemos derivar la función de ganancias e igualarla a cero:
G'(x) = 10000 - 200x
10000 - 200x = 0
x = 50
Por lo tanto, la cantidad óptima de producción es de 50 unidades.
Ejercicio 2:
Un fabricante de cajas desea minimizar el costo de producción de una caja rectangular con un volumen de 1000 cm^3. Si el costo de la tapa es de $0.20 por cm^2 y el costo de la base es de $0.10 por cm^2, ¿cuáles son las dimensiones óptimas de la caja?
Solución:
Para encontrar las dimensiones óptimas de la caja, debemos encontrar la función de costo:
C(x,y) = 0.2(2xy) + 0.1(x^2 + y^2)
C(x,y) = 0.4xy + 0.1(x^2 + y^2)
También sabemos que el volumen de la caja es de 1000 cm^3:
xyh = 1000
h = 1000/xy
Por lo tanto, podemos reemplazar h en la función de costo:
C(x,y) = 0.4xy + 0.1(x^2 + y^2) + 0.2(2xy)(1000/xy)
C(x,y) = 0.4xy + 0.1(x^2 + y^2) + 400
Ahora, para encontrar las dimensiones óptimas de la caja, debemos derivar la función de costo e igualarla a cero:
∂C/∂x = 0.4y + 0.2x = 0
∂C/∂y = 0.4x + 0.2y = 0
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:
x = 5 cm
y = 10 cm
Por lo tanto, las dimensiones óptimas de la caja son de 5 cm x 10 cm x 20 cm.
Preguntas frecuentes
1. ¿Por qué son importantes los máximos y mínimos?
Los máximos y mínimos son importantes porque nos permiten encontrar los valores óptimos de una función en diferentes situaciones, lo que puede ser muy útil en áreas como la economía, la ingeniería y las ciencias sociales.
2. ¿Cómo se calcula la cantidad óptima de producción?
La cantidad óptima de producción se calcula encontrando el punto en el que la función de ganancias alcanza su valor máximo. Para encontrar este punto, se debe derivar la función de ganancias e igualarla a cero.
3. ¿Qué es un máximo/mínimo local?
Un máximo/mínimo local es un punto en el que la función alcanza su valor más alto o más bajo, pero solo en un intervalo específico.
4. ¿Qué es un máximo/mínimo absoluto?
Un máximo/mínimo absoluto es el valor más alto o más bajo de una función en todo su dominio.
5. ¿Cómo se utiliza la optimización en la ingeniería?
La optimización se utiliza en la ingeniería para optimizar el rendimiento de un sistema. Por ejemplo, si se desea optimizar el rendimiento de un motor, se debe encontrar la velocidad óptima en la que el motor funciona de manera más eficiente.